摘要:針對(duì)分析振蕩器時(shí)缺乏合理的描述方法,提出從理想振蕩器的輸出形式出發(fā),得到了種用非線性隨機(jī)微分方程來(lái)描述振蕩器行為的統(tǒng)方法,討論了該模型的合理性,并給出了該模型周期解的穩(wěn)定性條件,為模型的實(shí)際使用奠定了基礎(chǔ).
關(guān)鍵詞:振蕩器;周期解;穩(wěn)定性
振蕩器是電子線路中為重要的電子器件之,它為諸多領(lǐng)域提供頻率的基準(zhǔn),廣泛應(yīng)用于通信、郵電、電子、航空航天、儀器儀表等的設(shè)備與系統(tǒng)中.如何對(duì)振蕩器建模,從而分析振蕩器并提高其性能具有重要意義.就目前而言,關(guān)于振蕩器的頻率穩(wěn)定性的方法研究主要集中在外,其中,Leeson提出的經(jīng)驗(yàn)化模型方法是采用線性時(shí)不變系統(tǒng)的理論來(lái)進(jìn)行研究的.Sauvage則從數(shù)學(xué)原理上證明了Leeson模型的有效性.Leeson的經(jīng)驗(yàn)化模型盡管對(duì)實(shí)際振蕩器的設(shè)計(jì)具有定的指導(dǎo)價(jià)值,但是Leeson模型并沒(méi)有描述
相位噪聲產(chǎn)生的全部機(jī)理.此外,Leeson模型中的些關(guān)鍵參數(shù)必須通過(guò)實(shí)際測(cè)量才能得到,因而不能預(yù)測(cè)振蕩器的相位噪聲.Hajimiri等則是吸取了Leeson模型和在此基礎(chǔ)上發(fā)展得到的其他模型在振蕩器設(shè)計(jì)中便于運(yùn)用的特點(diǎn),引入線性周期時(shí)變系統(tǒng)理論,提出了分析相位噪聲的時(shí)變相位噪聲模型.Demir等則是從描述振蕩器的非線性自治模型出發(fā),由于穩(wěn)態(tài)周期解的任意時(shí)間平移向量仍然是振蕩器系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期解,考慮到噪聲與狀態(tài)變量相比足夠小時(shí),可以在其中直接加上引入的噪聲.然后對(duì)穩(wěn)態(tài)解進(jìn)行擾動(dòng)分析,不僅引入了正則擾動(dòng)項(xiàng),而且還引入了對(duì)時(shí)間變量的擾動(dòng).并在穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處進(jìn)行次展開(kāi),得到了線性周期時(shí)變系統(tǒng),后由Floquet理論,得到了振蕩器穩(wěn)態(tài)周期解的導(dǎo)數(shù)所滿足方程的解,從而得到噪聲引起的相位噪聲.
綜合目前的研究方法,或者直接建立相應(yīng)的線性系統(tǒng)進(jìn)行分析,或者對(duì)原非線性系統(tǒng)線性化處理后再研究.由于振蕩器在開(kāi)始起振的階段,其閉環(huán)增益幅度要大于1,才能將振蕩器內(nèi)部或外部的噪聲進(jìn)行放大,從而使振蕩的幅度不斷增加.當(dāng)振蕩的幅度增至定程度時(shí),振蕩器中的有源器件,其非線性特性將使得環(huán)路的增益逐漸下降,只有當(dāng)閉環(huán)的增益幅度下降為1時(shí),振蕩信號(hào)的幅度才能穩(wěn)定.所以,實(shí)際意義的振蕩器定都是非線性系統(tǒng).任何的線性化處理都將改變振蕩器系統(tǒng)的物理本質(zhì).
本文引入非線性自治微分方程來(lái)描述振蕩器,提出將噪聲信號(hào)作為非線性自治微分方程的項(xiàng)來(lái)描述振蕩器的噪聲,通過(guò)建立相應(yīng)的非線性隨機(jī)微分方程來(lái)分析振蕩器的相位噪聲.對(duì)于所建模型,如何判斷其周期解的穩(wěn)定性,對(duì)于具體振蕩器模型正確性的判定具有重要意義,個(gè)具有穩(wěn)定周期解的模型才符合實(shí)際情況.對(duì)于我們所建立的振蕩器模型形式,關(guān)鍵在于分析其非線性項(xiàng)應(yīng)具有何等解析特征,才能滿足模型的周期解是穩(wěn)定的.本文以振蕩器的輸出形式出發(fā),通過(guò)構(gòu)造周期解在相平面任意點(diǎn)處的法線方程,然后運(yùn)用Konigs定理及推論,得到了所建模型非線性項(xiàng)對(duì)于周期解的穩(wěn)定性所應(yīng)滿足的條件,為模型的使用奠定了基礎(chǔ).對(duì)于振蕩器電路系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模,從節(jié)點(diǎn)處電流所應(yīng)滿足的基爾霍夫電流定律出發(fā),將注入節(jié)點(diǎn)的電流噪聲引入微分方程,那么電流的噪聲定是以方程中項(xiàng)的形式出現(xiàn)在微分方程中,因此可以直接引入噪聲項(xiàng)w(t),來(lái)建立含噪聲振蕩器系統(tǒng)的隨機(jī)非線性微分方程模型是合理的.
3 結(jié) 論
本文通過(guò)從理想振蕩器的輸出形式出發(fā),提出了種描述振蕩器行為的統(tǒng)模型.通過(guò)對(duì)該模型中非線性項(xiàng)所應(yīng)具有的形式進(jìn)行的詳細(xì)討論,得到了該模型周期解穩(wěn)定性判別的個(gè)解析方法,即式(25),為本文所提模型的具體使用提供了依據(jù).但是考慮到實(shí)際振蕩器模型的非線性項(xiàng),可能具有非常復(fù)雜的解析形式,那么本文得到的模型周期解穩(wěn)定性判別方法可能不易使用,因此進(jìn)步簡(jiǎn)化本文所建模型周期解的穩(wěn)定性條件,或從其他角度得到等效的更為簡(jiǎn)便的判別準(zhǔn)則將是下步的研究方向.